Look-and-Say Sequence

Sayılara Bambaşka Bir Bakış

Matematik dünyasında bazı diziler vardır ki ilk bakışta basit görünür, fakat derinine indikçe şaşırtıcı derecede karmaşık yapılar barındırır. Look-and-Say (Bak ve Söyle) dizisi de tam olarak böyle bir dizi. Basit bir kuralla başlar, ancak ortaya çıkan sayıların büyümesi ve içerdiği matematiksel özellikler oldukça ilgi çekicidir.

Bu yazıda Look-and-Say dizisinin ne olduğunu, nasıl oluşturulduğunu, örneklerini ve dizinin arkasındaki ilginç matematiksel gerçekleri keşfedeceğiz.

Look-and-Say Dizisi Nedir?

Look-and-Say dizisi, bir önceki terime bakılarak oluşturulan özel bir sayılar dizisidir. Dizinin mantığı çok basittir:

Her terim, bir önceki terimdeki rakamların “kaç tane” ve “hangi rakam” olduğunu sırasıyla söyleyerek oluşturulur.

Dizinin başlangıç terimi genellikle 1 olarak alınır.

Dizi Nasıl Oluşturulur?

Başlangıç: 1

1. terime bak: "Bir tane 1 var" → 11
2. terime bak: "İki tane 1 var" → 21
3. terime bak: "Bir tane 2, bir tane 1" → 1211
4. terime bak: "Bir tane 1, bir tane 2, iki tane 1" → 111221

Böyle devam eder…

Dizinin ilk birkaç terimi şöyledir:

1. 1
2. 11
3. 21
4. 1211
5. 111221
6. 312211
7. 13112221
8. 1113213211

Bu şekilde her yeni terim, tamamen bir önceki terimin rakamlarının sözlü tarifinden oluşur.

Neden Bu Kadar İlginç?

Look-and-Say dizisi sadece bir “matematik oyunu” değildir; arkasında çok daha derin bir matematiksel yapı vardır.

1. Terimler Çok Hızlı Büyür

Dizi çok hızlı bir şekilde uzar; terimlerdeki rakam sayısı yaklaşık 1.303577269... (Conway sabiti) oranında büyür.

2. Belirli Rakamlar Hiç Görünmez

Dizide hiçbir terimde 4, 5, 6, 7, 8 veya 9 rakamları asla bulunmaz.

Çünkü dizi yalnızca sayıları “okuyarak” oluşur ve tekrar sayıları yalnızca 1, 2 veya 3 şeklinde çıkar.

3. Conway’in “Elementler” Keşfi

Ünlü matematikçi John Conway, Look-and-Say dizisini analiz ederken diziyi parçalarına ayıran 92 farklı “atom” yapısı olduğunu buldu. Bu yapıların tıpkı kimyasal elementler gibi birleşerek diziyi oluşturduğunu göstermiştir.

Python ile Look-and-Say Dizisi Oluşturmak

Teknik meraklılar için, diziyi üretmek oldukça kolaydır. İşte kısa bir Python fonksiyonu:

look_and_say.py

def look_and_say(n):
    term = "1"
    for _ in range(n - 1):
        next_term = ""
        count = 1
        for i in range(1, len(term)):
            if term[i] == term[i - 1]:
                count += 1
            else:
                next_term += str(count) + term[i - 1]
                count = 1
        next_term += str(count) + term[-1]
        term = next_term
    return term

# Örnek: ilk 10 terimi yazdır
for i in range(1, 11):
    print(i, look_and_say(i))

Wikipedia Look-and-Say